Échéance moyenne - LES CALCULS COMMERCIAUX

* IV. Échéance moyenne

* L'échéance moyenne est l'échéance d'un effet unique à un ensemble d'effets mais dont la valeur nominale est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés.

* Etude de cas 1:
* Le 14 avril, un débiteur des 3 effets ci-dessous
* 2 100 au 20 juin
* 3 600 au 20 juillet
* 2 605 au 10 août,
* demande à son créancier de les remplacer par un effet unique; à un taux de 12%.
* Quelle est l'échéance de cet effet ?

* Solution
* Nous allons rechercher l'échéance d'un effet unique dont la valeur nominale est : 2 100 + 3 600 + 2 605 soit 8 305 DH
* On peut écrire : (8 305 - 8 305 * 12 * (x) / 36 000) = (2 100 - 2 100 * 12 * 67 / 36 000) + (3 600 - 3 600 * 12 * 97 / 36 000) + (2 605 - 2 605 * 12 * 118 / 36 000)
* 8 305 - 2.77 x = 2 053.10 + 3 483.60 + 2 502.54
* 2.77 x = 265.76
* x = 95.94 ≈ 96 jours
* Donc l'échéance se situe 96 jours après le 14 avril soit le 19 juillet.

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Comment Calculer de l’échéance - LES CALCULS COMMERCIAUX

* III. Calcul de l’échéance

* Le 4 avril; un commerçant a négocié avec sa banque, un effet de valeur nominale 1860 DH; échéance le 10 mai; taux 5%.
* La valeur nominale de l’effet de remplacement est 1866,25 DH.
* Quelle est la nouvelle échéance ?
*

* Exemple 2
* Un effet de 2 000 DH au 15 mars est impayé, il est remplacé par un autre effet de 2 040 DH immédiatement négocié aux conditions suivantes :
* taux d'escompte : 8 %
* commission d'endos : 0,60 %
* commission de service : 3,40 DH
* Quelle est l'échéance du nouvel effet?
* Soit x le nombre de jours séparant le 15 mars de la nouvelle échéance, la valeur de l'effet de 2 040 DH au 15 mars doit être de 2 000 DH ( date d'équivalence )
* Nous savons que valeur nette = valeur nominale - agio
* donc 2 000 = 2 040 – (2 040 * (x) * 8 / 36 000 + 2 040 * (x) * 0,6 / 36 000 + 3,4) = 2 040 - (16 320 x + 1 224 x) / 36 000 - 3,4 = 2 040 - 0,48 x - 3,4
* 0,48 x = 36,60
* x = 76,25 ≈ 77 jours
* Donc, l'échéance du nouvel effet se situe 77 jours après le 15 mars soit le 31 mai.

* Exemple 3
* Le 14 avril, un débiteur des 3 effets ci-dessous
* 2 100 au 20 juin
* 3 600 au 20 juillet
* 2 605 au 10 août,
* demande à son créancier de les remplacer par un effet unique de 8 500 DH.
* Quelle est l'échéance de cet effet ? Taux 12 %.

* La condition d'équivalence est la suivante :
* La valeur actuelle de l'effet de remplacement est égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacés.
* 8 500 - 8 500 * 12 * (x) = 2 100 - 2 100 * 12 * 67 / 36 000 + 3 600 - 3 600 * 12 * 96 / 36 000 + 2 605 - 2 605 * 12 * 118 / 36 000
* 8 500 - 2,83 x = 2 053,10 + 3 483,60 + 2 502,54
* 2,83 x = 460,76
* x = 162,81 soit 163 jours
* L'échéance de l'effet de remplacement se situe donc 163 jours après le 14 avril soit le 24 septembre.

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Comment Calculer de la valeur nominale - LES CALCULS COMMERCIAUX

* II. Calcul de la valeur nominale

* Etude de cas:
* Le débiteur B doit à son créancier A une somme de 3000 DH, payable le 31 juillet, la créance étant matérialisée par un effet de commerce.
* Le 16 juillet, B qui se sait, dans l’impossibilité de faire face, le 31 juillet, au règlement de sa dette, demande à A de remplacer l’effet de commerce au 31 juillet par un autre au 31 août.
* Calculer la valeur nominale au 31 août. Taux d’escompte est 6%

* Solution
* Du 16 au 31 juillet il y a 15 jours.
* La valeur actuelle du 1er effet est :
Donc la valeur nominale de l’effet de remplacement est de 3015, 62 DH.

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L’escompte rationnel

VI. L’escompte rationnel

L’escompte rationnel est l’intérêt de la valeur actuelle.
Comme cette valeur actuelle est inférieure à la valeur nominale, on dit que l’intérêt ainsi calculé est un escompte en dedans, par contraste avec l’escompte commercial dit escompte en dehors.
On le dénomme rationnel parce que son mode de calcul est conforme à la raison, au bon sens, autrement dit : est plus équitable.

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IV.3. Valeur nominale - LES CALCULS COMMERCIAUX

IV.3. Valeur nominale

Quelle est la valeur nominale d'un effet qui, escompté au taux de 11 % l'an pendant 54 jours a une valeur actuelle de 1 983.50 ?

On peut écrire : 1 983.50 = V – V tn / 36 000
= V - V x 11 x 54 / 36 000
= V - 0.0165V
= 0.9835V
d'où V = 2 017 DH

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IV.2 Taux d'escompte - LES CALCULS COMMERCIAUX

IV.2 Taux d'escompte

Quel est le taux qui a été appliqué à un effet de valeur nominale 780 DH pendant 35 jours et ayant une valeur actuelle de 771,66 DH .

On peut écrire : 771.66 = 780 - e donc e = 8.34
d'où 8.34 = V tn / 36 000
8.34 = 780 x 35 x t / 36 000
36 000 x 8.34 = 780 x 35 x t
300 240 = 27 300t
t = 11 donc taux = 11 % l'

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CHAP IV – L’ESCOMPTE COMMERCIAL - LES CALCULS COMMERCIAUX

CHAP IV – L’ESCOMPTE COMMERCIAL

I - Définition

L’escompte commercial, prix du service rendu par le banquier, ne sera autre que l’intérêt, à un taux t indiqué par le banquier, d’une somme égale à la valeur nominale de l’effet.
Montant de l’avance effectuée par le banquier, calculé sur le nombre de jours que sépare la date de la négociation de l ‘effet, de la date d’échéance de l’effet ( ce nombre de jour correspondant à la durée du prêt consenti par le banquier).

I – Schéma
II. Calcul de l’escompte commercial

Dans la pratique, le banquier retient, outre l'escompte, diverses commissions
L'ensemble des retenues : escompte, commission, taxe représente l'agio TTC
Si on désigne par :
V = valeur nominale de l'effet
n = durée en jours
t = taux d'escompte
e = escompte commercial
On obtient :

Exemple 1 :
Calculons l'escompte d'un effet de 40 000 DH au 31 juillet remis à l'escompte le 26 juin. Taux 11,25 %.

Exemple 2 :
Calculer l'escompte commercial d'un effet de valeur nominale de 8 300 DH à 40 jours, au taux de 10, 75 %.
e = 8 300 x 40 x 10.75 / 36 000 = 99.14 DH

III. Valeur actuelle
C’est la valeur que le banquier doit verser au porteur de l’effet à l’occasion de l’opération d’escompte.
Elle représente la différence entre la valeur nominale et l’escompte retenu par le banquier.

En désignant par « a » cette valeur actuelle on aura :
a = V - e
Reprenons l'exemple 1
On obtient : a = 40 000 - 437.50 = 39 562.50
IV- Calcul de l'échéance, du taux, de la valeur nominale

IV.1.L'échéance
Quel est le nombre de jours jusqu'à l'échéance, d'un effet de 4 800 DH qui, escompté au taux de 12 % l'an a une valeur actuelle de 4 720 DH ?

Reprenons la formule : a = V – e
on peut écrire : 4 720 = 4 800 – e, donc e = 80
on peut écrire encore : e = V tn / 36 000 = 80
d'où 4 800 x 12 x n / 36 000 = 80
4 800 x 12 x n = 80 x 36 000
57 600n = 2 880 000
n = 50 jours.

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Comment calculer le taux d’intérêt - LES CALCULS COMMERCIAUX

* IV.4. Calcul du taux d’intérêt

* Dans la pratique, on détermine un placement en indiquant l’intérêt qui est rapporté
* par un capital de 100 DH en un an, cet intérêt porte le nom de taux d’intérêt.
* Le taux d’intérêt peut dépendre de plusieurs facteurs :
* loi de l'offre et de la demande des capitaux disponibles ;
* Degré de confiance du prêteur envers l'emprunteur ;
* Durée du prêt ;
* Conjoncture économique et sociale.

* De la formule générale I = C x t x n / 36000
* On tire t= I x 36000 / C x n

* Exemple :
* Un capital de 28 600 DH placé pendant 85 jours a rapporté 607,75 DH.
* Calculer le taux ?

* t = I x 36000 / C x n
* ⇒ t = (607,75 x 36000) / (28600 x 85) = 9%

* Exercice : Taux
* A quel taux faut il placer un capital de 20 000 € pendant 6 mois pour qu’il rapporte 1 000 € ?

* Réponse
* 1 000 = 20 000 x (6/12) x (t)
* t = 1 000 / (20 000x6/12)
* t = 1 000 / 10 000
* t = 0.1
* Taux = 0.1x100 = 10 %

* EXERCICES CORRIGES

* Exercice 1
* 1) En jouant au loto, trois amis gagnent 15 245 €. Ils décident de redistribuer les gains en fonction de la mise de chacun. Sachant qu’ils ont misé respectivement 25 %, 33 % et 42 % de la somme, calculer les gains de chacun.

* 2) Le 2ieme joueur décide de placer une partie de ses gains. Il place un capital de 3 000 € au taux annuel de 3 %. Calculer l’intérêt rapporté par ce capital au bout de 5 mois.

* Exercice 2
* Une somme de 48 000 € est placée du 6 mars au 10 octobre au taux de 3,25 % l’an. La durée est exprimée en quinzaines : on compte deux quinzaines par mois commençant soit le premier soit le 16. Seules les quinzaines entières seront prises en compte pour le calcul des intérêts.
* 1) Calculer le nombre de quinzaines.
* 2) Calculer l’intérêt rapporté par cette somme au 10 octobre.
* 3) Calculer la valeur acquise le 10 octobre.

* Exercice 3
* Après avoir gagné 30 000 euros une personne décide de :
* S’acheter une voiture avec les deux cinquième du gain,
* Placer la moitié du gain à intérêts simples pendant 240 jours à 3,5% l’an.

* 1) Calculer le prix de la voiture.
* 2) Calculer le montant des intérêts produits par le placement.

* Exercice 4
* Le 1 juin, une société a un besoin de 3 000 € pour régler une créance.
* Deux possibilités s'offrent à elle :

* 1 - Négocier une traite de nominal 7 000 €. au 30 juin, intérêt 12 %, commission 4,60€.
* 2 - Demander un découvert de 3 000 €. pour 7 jours, jusqu'au 7 juin. à cette date une importante vente payée comptant sera effectuée. Taux d'intérêt 18 %
* Quel est le meilleur choix ?

* Réponse 4
* Coût choix 1 : Durée = 30 jours (1 juin au 30 juin)
* Intérêt = 7000 x (30/360) x (12/100) = 70 €
* Coût total = 70 + 4.60 = 74.60 €
* Coût choix 2 : Durée = 30 jours (1 juin au 30 juin)
* Intérêt = 3000 x (7/360) x (18/100) = 10.50 €

* Bien que le taux du découvert soit nettement supérieur à celui de la négociation. La durée étant plus courts le coût de la solution 2 est nettement inférieur.
* Coût du financement rapporté au besoin financier
* Choix 1 = 74.60/3000x100 = 2.48 %
* Choix 2 = 10.50/3000x100= 0.35 %

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Comment calculer de la durée - LES CALCULS COMMERCIAUX

* IV.3. Calcul de la durée

* De la formule générale I = C x t x n / 36000
* on tire alors , n = Ix36000 / C x t

Exemple 1 :
* Pendant combien de temps un capital de 45 000 doit-il être placé à 11.5% pour générer 805 DH d’intérêts ?

* Exemple 2 :
* Quelle est la durée de placement d’un capital ,sachant que ce placement a été effectué du 18 novembre 2002 au 27 octobre 2003 ?
* Exercice : Durée
* Combien de temps faut il placer un capital de 30 000 € au taux de 8 % pour qu’il rapporte 1 200 € ?

* Réponse :
* 1 200 = 30 000 x (n) x (8/100)
* n = 1 200/(30 000x8/100)
* n = 1 200/2 400 ; n = 0.5
* Durée = 0.5x12 mois= 6 mois

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Comment calculer la valeur acquise - LES CALCULS COMMERCIAUX

* IV.2. La valeur acquise

* On appelle valeur acquise par un capital placé pendant un certain temps, la valeur
* du capital augmentée des intérêts à la fin de la période de placement.
* Soit V : la valeur acquise par le capital à la fin de la période du placement

* Exemple :
* Quelle est la valeur acquise par un capital de 120 000 DH placé à 12.5 % pendant 126 jours ?
* I = 120 000 x 12.5 x 126 / 36 000 = 5 250
* V = 120 000 + 5 250 = 125 250 DH
* Exercice VA :
* Quel est le capital qui placé à 9% est devenu 281 231 DH au bout de 2 ans 3 mois et 18 jours ?

* Réponse :
* 2 ans 3 mois et 18 jours = 720 + 90 +18 = 828 jours
* Une somme placée à 9% rapporte 9/100 de sa valeur en 1 an.
* En 828 jours, elle rapporte 9/100 x 828/1000 = 207/1000
* Il est devenu 1 + (207/1000) = (1207/1000) de ce qu’il était auparavant
* le capital était donc:
* C = 281231 / (1207/1000)
= 281231 x (1000/1207) = 233000 DH

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Calcul des facteurs de l’intérêt simple - LES CALCULS COMMERCIAUX

* IV. Calcul des facteurs de l’intérêt simple

* Les facteurs de l’intérêt simple sont :
* le capital,
* le taux et
* la durée.

* IV.1 calcul du capital
* Il s’agit de la somme placée ou prêtée à une date déterminée
* De la formule générale I = Cxtxn/36000 on tire C = I x 36000 / txn
* Exemple :
* Quel est le capital , qui , placé à 10% pendant 75 jours rapporterait 406.25 DH ?
* Exercice : Capital
* Quel capital placé pendant 8 mois au taux de 8 % rapporte 2000 € ?

* Réponse
* 2 000 = C x (8/12) x (8/100)
* C = 2000/((8/12)x(8/100))
* C = 2000/0.05333333
* C = 37 500 €

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III.3. Méthode du soixante - LES CALCULS COMMERCIAUX

* III.3. Méthode du soixante

Cette méthode est utilisée lorsque le taux de base ne permet pas une division exacte de 36 000.
* Exemple 1 :
* C = 12 730
* t = 8.5 %
* n = 26
* L'intérêt est calculé par la méthode des parties aliquotes de temps à 6 %.
* D = 36000/6 = 6 000 ; B = 60
* Vérification : 12 730 x 8.5 x 26 / 36 000 = 78.13.
Exemple 2 :
* C = 3 028
* t = 7.5 %
* n = 111 jours
Calculer par la méthode du soixante l’intérêt produit par ce placement.
* Si t = 6 % D = 36000/6 = 6 000 ; B = 60

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CHAP III - LES INTERETS SIMPLES - LES CALCULS COMMERCIAUX

* CHAP III - LES INTERETS SIMPLES
* I. notion d’intérêt
* L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent.

* Chaque fois qu’une personne prête une certaine somme , elle se prive pendant toute la période du prêt de la possibilité d’employer elle-même son argent et rend service à son débiteur qui pourra , par exemple, l’utiliser pour financer des investissements rentables.
* Il est donc normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération.
* II. Définition d’intérêt simple
* Lorsque la durée du prêt est de quelques mois, on convient en général que l’intérêt sera payé en une seule fois, soit lors de la remise du prêt, soit lors de son remboursement.
* Quand le prêt (ou le placement) est fait à intérêts simples), les intérêts dus à la fin de chaque période choisie comme unité de temps (trimestre, semestre ou année) sont calculés sur la capital

initial :
* ils ne sont pas capitalisés pour le calcul des intérêts de la période suivante.
* Le montant de l’intérêt dépend de l’importance du capital prêté et de la durée du prêt.
* En principe l’intérêt est proportionnel au capital prêté et croit avec la durée.
* II. Formule fondamentale de l’intérêt simple
* A la fin de chaque période, les intérêts ne sont capitalisés que pour le calcul des intérêts de la période suivante.
* L’intérêt dépend :
* du capital placé,
* du taux d’intérêt et
* de la durée du prêt.
* Soit :
* C : le capital prêté
* t : le taux d’intérêt
* n : la durée du prêt évaluée en fonction de la période retenue pour l’application du taux.
* I : l’intérêt global produit
* Si le taux « t » est annuel pour 100 DH et la durée de placement « n » est exprimé en jours (en prenant en considération une année commerciale de 360 jours).
* Dans ce cas l’intérêt est :
* Si le taux « t » est annuel pour 100 DH et la durée de placement « n » est exprimé en mois, sachant que; une année est égale à 12 mois .
* Dans ce cas l’intérêt est :
* Exemple :
* Soit un capital de 12 000 DH placé au taux de 11% :
* Pour une période de 126 jours ;
* Pour une période de 3 mois ;
* Pour une période de 2 ans.
* Quel est l’intérêt produit selon les 3 cas ?
* Réponse :
* 1ier cas : I = 12000 x 11 x 126/ 36000
= 462 DH
* 2ième cas : I = 12000 x 11 x 3 / 1200
= 330 DH
* 3ième cas : I = 1200 x 11 x 2 / 100
= 2640 DH

* III. Les méthodes commerciales de calcul de l’intérêt simple
* Principe :
* On part de la formule : C x t x n / 36000 , n étant exprimé en jours. Divisons par « t » les deux membres, on obtient :
* Si nous posons C x n = N et 36000 / t = D, alors la formule peut s'écrire :
* I = N / D
* N étant le nombre et D le diviseur fixe.
* Exemple :
* Quel est l’intérêt global des capitaux suivants placés à 12 % ?
* Réponse
* On Calcule le diviseur fixe D = 36 000/t = 36 000/12 = 3 000
* On calcule N pour chaque période :
* d'où N/D = 20 692 418/3 000 = 6 897,47
* III.2. Méthode des parties aliquotes
2.1. Méthode des parties aliquotes du capital

* C’est la méthode la plus utilisée pour effectuer les calculs. Elle repose sur la règle suivante :
* Lorsque Capital = Diviseur
==> Intérêt = nombre de jours
* c.-à-d. Lorsque;


* Exemple 1 :
* C = 6000 DH; t = 6 %; n = 45 jours
* d’où diviseur D = 36000/6 = 6000
* Le Capital étant égal au diviseur, alors i = 45 DH

* Exemple 2 :
* C = 7500; t = 12 %; n = 90 jours
* D’où diviseur D = 36000/12 = 3000
* On peut écrire : si
* C = 3000 ==> i = 90
* C = 6000 ==> i = 180
* C = 1500 ==> i = 45
* Alors pour C = 7500 ==> i = 180 + 45 = 225 DH

* Exemple 3 :
* C = 5400 US$; t = 5 %; n = 44 jours
* D’où diviseur D = 36000/5 = 7200
* On peut écrire : si
* C = 7200 ==> i = 44
* C = 7200/4 ==> i = 44/4
* C = 1800 ==> i = 11
* Alors pour C = 5400 ==> i = 44 – 11 = 33 US$
* n = B ==> I = C/100

2. 2. Méthode des parties aliquotes du temps

* Cette méthode utilise les bases:
* On divise D par 100 pour obtenir B la base.
* B = D/100
* Et la règle suivante :
* Lorsque n = base ==> I = Capital/100
* c.-à-d. lorsque,
* Exemple 1 :

* C = 4350 €; t = 5 %; n = 72 jours
* Avec t = 5 %, la base = 72 d’où i = 43,50 €

* Exemple 2
* C = 12000 €; t = 4 %; n = 93 jours
* Avec t = 4 %, la base = 90
* On peut écrire : si
* n = 90 ==> i = 120
_______________
* n = 90 ==> i = 120
+ n = 3 ==> i = 4
_______________
* n = 93 ==> i = 124

* Exemple 3
* C = 4800 €; t = 6 %; n = 44 jours
* Avec t = 6 %, la base = 60
* On peut écrire : si
* n = 60 ==> i = 48
* _______________
* d’où n = 30 ==> i = 24
* + n = 10 ==> i = 8
* + n = 4 ==> i = 3,20
* _______________
* n = 44 ==> i = 35.20

Exemple 1 :
* C = 7 800
* t = 4.5 %
* n = 80
* D = 36 000 / 4.5 = 8 000 B = 80
* I = N/D = 7 800 x 80 / 100 x 80 = 78 DH
* Lorsque n = B ⇒ I = 1 / 100 du capital.

Exemple 2 :
* C = 15 500
* t = 8 %
* n = 180
* D = 36 000 / 8 = 4 500 B = 45
* si n = 45 ⇒ I = 155 (15 500 / 100)
* si n = 180 alors n = 4 x 45 d'où I = 4 x 155 = 620 DH
* Lorsque le nombre de jours est un multiple ou un sous-multiple de la base, l’intérêt est ce même multiple ou sous-multiple de la centième partie du capital.

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Application des pourcentages aux réductions sur le poids - LES CALCULS COMMERCIAUX

* III- Application des pourcentages aux réductions sur le poids

* le poids total d’une marchandise est nommé poids brut, on distingue plusieurs réductions sur le poids :
* La tare : c’est une réduction sur le poids de l’emballage.
* La surtare : c’est une réduction pour emballage supplémentaire.
* Le don : c’est une réduction accordée pour altération naturelle de la marchandise.
* La réfaction : réduction accordée pour avaries dans la livraison.
* Les réductions sur le poids se calculent également en cascade.

* Exemple :
* Le poids brut d’une marchandise est de 5 200 kg, la tare est de 2%, le don 3% et la réfaction 1,5% ; calculer le poids net facturé ?

* Durant la période de moisson, une coopérative a collecté 2500 tonnes de blé tendre . A la fin de la période la coopérative a livré la totalité de la collecte aux moulins, avec une teneur en eau réduite de deux points.

* Quel est le poids livré ?
* On a livré 20000 tonnes de céréales en dessous de l'humidité c'est a dire 11,7% au lieu de 15% les contrats céréales prévoient de ramener l'humidité a 15%,comme en TS (tonnage spécifique).

* Quel est le tonnage ramené par les contrats céréales ?

* IV Application des pourcentages en matière de TVA
* IV.1 Calcul de la TVA
* La TVA se calcule sur le prix de vente hors taxe (HT).
* Elle s’ajoute à ce prix pour obtenir le prix de vente toutes taxes comprises (TTC).
* Soit :
* t : le taux de la TVA.
* PH T : le prix hors taxe.
* PTTC : le prix toutes taxes comprises.
* TVA : le montant de la TVA.
* IV.2 Calcul du PTTC et du PHT

* Exemple :
* Un commerçant vend des marchandises toutes taxes comprises à 19 560 DH.
* Déterminer le prix de vente hors taxe et le montant de la TVA ? Sachant que le taux de TVA est 20%
* Les 4 Formules de base (à connaître par cœur !)
* Voici le rappel des quatre formules fondamentales. Avec elles nous sommes capables de résoudre tous les problèmes de TVA !

* 1- Montant de TVA = Prix H.T. × Taux de TVA
* 2- Prix T.T.C. = Prix H.T. + Montant de TVA
* 3- Coefficient de TVA = 1 + Taux de TVA
* 4- Prix T.T.C. = Prix H.T. × Coefficient de TVA
* Combien d’articles ont été achetés ?
* 2) Calculer le montant total des articles.
* 3) Combien d’articles portent le code A ?
* 4) Combien d’articles portent le code B ?
* 5) Que signifie le code A ?
* 6) Que signifie le code B ?
* 7) Comparer le montant de la T.V.A. du code A par rapport au prix de vente H.T. du code A.
* 8) Comparer le montant de la T.V.A. du code B par rapport au prix de vente H.T. du code B.
* 9) A partir de la ligne Total, trouver une relation mathématique.

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CHAP II - LES POURCENTAGES - LES CALCULS COMMERCIAUX

* CHAP II - LES POURCENTAGES

* I. Définition
* On appelle pourcentage le rapport constant de deux grandeurs proportionnelles quand la mesure de la seconde est 100.

* C’est donc un rapport dont le dénominateur est 100.

* Du point de vue mathématique, on a deux cas distincts :
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité connue, on l’appelle alors « pourcentage direct » ;
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité inconnue, on l’appelle, dans ce cas, « pourcentage indirect ».

* I.1. Pourcentage direct

* Exemple
* Un commerçant achète un article au prix de 9 000 DH. Il désire réaliser un bénéfice de 20% sur le prix d’achat. Quel sera alors son bénéfice ?
* Bénéfice =
* Cette expression peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
* Bénéfice = 9000x 20%
* → Bénéfice = 1800DH

* I.2. Pourcentage indirect
* Exemple

* Un commerçant achète une marchandise à 24 000 DH et désire réaliser un bénéfice de 25% sur le prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bénéfice ?

* Méthode 1
* PV = PA + B
* B = PV x 25%
* On sait que PA = 24000
* Alors PV = 24000 + B
* Et B = PV x 25/100
* Donc , B = (24000 + B) x 25/100
* Alors : 100 x B = 600000 + 25 x B
* 100 B – 25 B = 600000
* 75 B = 600000
* B = 600000/75 = 8000

* Méthode 2
* Généralisation :
* EXERCICES
* Exercice 1: Le salaire horaire d'un employé est de 10,50 DH. Calculer le coût d'une heure supplémentaire majorée de 25% ?

* Réponse 1: Le coût de l'Heure Supplémentaire est 13,13 DH

* Exercice 2: Le prix d'une baguette de pain passe de 0,80 DH à 0,85 DH. Quelle est l'augmentation en pourcentage de la baguette ?

* Exercice 3: Un magasin solde un manteau coûtant 180 DH et le propose à 117 DH. Calculer le pourcentage de réduction obtenu.

* Réponse 3:
* Nous calculons la baisse en valeur du prix du manteau :
* 180 - 117 = 63
* Le prix du manteau a donc baissé de 63 DH
* Nous voulons connaître le pourcentage de réduction. Ce que nous cherchons, c'est combien représente cette baisse de 63 DH par rapport au Prix Initial du manteau ?

* Le prix initial et la diminution sont proportionnels, que ce soit en valeur ou en pourcentage, nous pouvons donc construire un tableau de proportionnalité.

* Par la méthode du Produit en Croix, nous trouvons :
* X = 63 × 100/180 = 35

* II- Application des pourcentages aux réductions sur le prix

* En général, le commerçant accorde à ses clients une réduction de a% calculée sur le prix de vente public appelé aussi :
* Prix de vente catalogue (PVC)
* Prix de vente brut (PVB)
* Prix de vente marqué (PVM)
* II.1. Calcul du PVC en fonction du PV
* Le point de départ est le PVC
* Le point d’arrivée est le PV
* On suppose qu’un commerçant accorde une remise de a% à son client:

* PVC = PV + R
* R = PVC x a%
* Donc : PVC = PV + PVC x a%
* PVC – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PVC = PV/(1-a%) = 100/(100 - a) x PV
* Si le commerçant accorde deux remises successives, a% et b%, alors :
* PVC = (100/100-a) x (100/100-b) x PV
* Exemple : un commerçant qui accorde deux remises 10% et 8%.
* II.2. Calcul du PV en fonction du PVC
* Point de départ : PV → à calculer
* Point d’arrivée : PVC → connu
* PVC = PV + R
* PV = PVC - R
* R = PVC x a%
* Donc : PV = PVC - PVC x a%
* PV C – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PV = PVC (100 – a)/100
* Pour deux remises successives a% et b%, on a :

* Application numérique:
* Pour les remises de 10% et 8% on a:

* EXERCICES
* Exercice 1: Un vendeur de véhicule augmente le prix d'une voiture de 10%, au départ le prix était de 8900 €. Ne voyant aucun client intéressé, le vendeur baisse le prix de 10%. Calculer le dernier prix de cette voiture et commenter le résultat.

* Exercice 2: L'affirmation suivante est-elle vraie ?
* « Si on baisse le prix d’un article de 20% puis encore de 30%, au final, le prix de l’article a baissé de 50% »
* Vrai ou faut ?
* Pourquoi ?

* II.3. Coefficient multiplicateur et taux de bénéfice

* Le coefficient multiplicateur est le nombre qui permet de passer da la quantité connue à la quantité inconnue par une seule multiplication.

* Exemples :
* Passe
* Passer du coût de revient (CR) au prix de vente à la clientèle (PVC)
* 1- PV = PA + B
* B = PA x a%
* Alors , PV = PA + PA x a%
* PV = PA (1 + a%)
* PV = PA x (100 + a)/100
* (100 + a)/100 est le coefficient multiplicateur.
* 2- PVC = CR + MARGE
* MARGE = CR x b%
* PVC = CR + CR x b%
* PVC = CR (1 + b%)
* PVC = CR (100 + b)/100
* (100 + b)/100 est le coefficient multiplicateur

* Réponse 1 :
* CM = 1 + 25/100
* CM = 1 + 0,25
* CM = 1,25
* Le prix de la montre a été multiplié par 1,25.

* Réponse 2 :
* CM = 1 – 10/100
* CM = 1-0,1
* CM = 0,9
* Le prix du canapé a été multiplié par 0,9.

* Réponse 3 :
* Prix final = Prix initial x CM
* 90 = 120 x CM
* CM = 90/120
* CM = 0,75
* Le prix de la paire de lunette a été multiplié par 0,75.

* Exercice 4 :
* Sur un emballage de fromage on peut lire :
* «Poids net : 217 g . 45% de matière grasse sur le produit sec, soit 10% sur le poids net du fromage.»
* a) Quelle est la masse de matière grasse contenue dans le fromage ?
* b) Quelle est la masse d’eau contenue dans le fromage ?

* Exercice 5 :
* Après deux augmentations successives la première de 8%, la seconde de 12% , le prix d’un produit est de 725,76 euros.
* Calculer le prix initial du produit.

* Exercice 6 :
* De 1987 à 1993, la population d’une ville a augmenté de 10,3% et de 1993 à 1999, elle a diminué de 9%.

* Quel est le pourcentage d’évolution de cette population entre 1987 et 1999 ?
* Exercice 7 :

* Un capital de 12000 euros au 1er Janvier 2000 subit chaque mois de l’année 2000 une hausse de 1 %.
* a) Par quel nombre est-il multiplié chaque mois ?
* b) Quel est le montant du capital au 1er Janvier 2001 ?
* Exercice 8 :
* Pour un même produit, le magasin A propose 20% de produit en plus pour le même prix et le magasin B propose 20% de remise sur le prix pour une même quantité.
* Si 1 Kg de produit coûte 100 euros, quelle est la proposition la plus avantageuse pour le client.

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III.2 Partages Inversement Proportionnels - LES CALCULS COMMERCIAUX

* III.2 Partages Inversement Proportionnels

* 2.1. Principe :
Les parts forment avec les inverses des nombres donnés, une suite de rapports égaux.
* 2.2. Règle :

Pour partager une somme en parties inversement proportionnelles à des nombres donnés :
On la partage en parties directement proportionnelles aux inverses de ces nombres .

* Exemple :
* Une gratification de 14 000 DH est à partager entre les trois membres d’une équipe en parties inversement proportionnelles au nombre d’heures de travail nécessaires pour l’exécution d’une tâche donnée, ils ont effectué chacun et qui sont respectivement : 63 H , 72 H et 80 H.

* Réponse
* Les parts sont directement proportionnelles à : 1/63; 1/72 et 1/80
* En réduisant au même dénominateur on aura : 80/5040; 70/5040 et 63/5040
* La part du premier : 14000x80/213 = 5258,22 DH
* La part du deuxième : 14000x70/213 = 4600,94 DH
* La part du troisième : 14000x 63/213 = 4140.84 DH
* Exercice 1

* Trois agriculteurs A, B et C décident d'acheter une machine agricole à 5800 €uro. Leur part
respective est:

* D'une part inversement proportionnelle à leur ancienneté : 4 ans, 5 ans, et 6 ans.
* D'autre part proportionnelle à leur surface cultivable : 22 ha, 35 ha et 28 ha. Quelle est la part de chacun ?

* Réponse 1
* Le partage se fait inversement proportionnel à 4, 5 , 6 Soit proportionnel à : 1/4 , 1/5 , 1/6 = 1/4 + 1/5 + 1/6 = PPCM = 60 15 12 10 37 ------ + ----- + ----- = -------
60 60 60 60 Soit un partage proportionnel à : 15 , 12 , 10

* Le partage est donc proportionnel à la fois à 22 , 35 , 28 et 15 , 12 , 10 Les trois agriculteurs étant A , B , C nous avons donc : A B C A + B + C 5800 ------- = ------- = ------ = ---------------- = -------- = 5,631
22 x 15 35 x 12 28 x 10 330+420+280 1030
est le coefficient de proportionnalité.

* A --- = 5,631 alors, A = 5,631 x 330 = 1858,23 euros 330 B --- = 5,631 alors, B = 5,631 x 420 = 2365,02 euros 420 C ---- = 5,631 alors, C = 5,631 x 280 = 1576.68 euros 280 Vérification : 1858,23 + 2365.02 + 1576.68 = 5800 euros

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CHAP I - les rapports et proportion - LES CALCULS COMMERCIAUX

* i.1 Les rapports
* Le volume, V2 = 1,5 x V1

* Définition
* Le rapport d’une grandeur à une autre grandeur est le quotient du nombre (a) qui mesure la première par le nombre (b) qui mesure la deuxième.
* En général, un rapport se présente sous forme de fraction et se compose de deux termes ; le premier (a) est le numérateur ou l’antécédent; le second (b) est le dénominateur ou le conséquent.
* Exemples
* Le rapport de 180 à 12 est :
* i.2 La proportion
La proportion est l’égalité formée de deux rapports
* Exemples
* I.2.1 Propriétés des proportions
* Lorsqu’on dispose d’une proportion, on peut effectuer différentes transformations.
* 2.1.1. Dans toute proportion, le produits des extrêmes est égal au produit des moyens. Soit :
* Réduisons les deux fractions au même dénominateur commun (b x d) :
* Chassons les dénominateurs. Il reste alors :
* a x d = c x b
* 2.1.2 Dans une proportion donnée, on peut permuter les extrêmes entre eux et les moyens
entre eux.
* Soit la proportion
* Utilisons la propriété vue au 2.1.1
* Elle nous permet d’écrire a x d = b x c. Or, si on change la place des 4 termes, on obtient le même résultat.
* Cette dernière égalité est identique à la précédente.
* 2.1.3. Si deux rapports forment une proportion, on obtient un rapport égal aux deux premiers en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.
* Soit la proportion :
* On peut écrire
* 2.1.4 On obtient aussi un rapport égal si on utilise la différence
* 2.1.5. Multiplions les deux termes du rapport a/b par le nombre relatif x et les deux termes du rapport c/d par le nombre relatif y.

* exemple
* I.2.2.Suite de rapports égaux
* Disposant de plusieurs rapports égaux, on peut former une suite de ces rapports égaux.
* Soit ;
* On peut former une suite ayant la forme suivante :

* I.2.3.propriétés des suites de rapports égaux
* Elles ont les mêmes propriétés que les propositions
* Et d’une façon générale :
* Soit la suite :
* Si on multiplie les termes de chaque rapport par un nombre relatif, on obtient :
* et on peut écrire sous la forme suivante :

* EXERCICES
* Exercice 1 Calculer 2 nombres connaissant leur différence 36 et leurs rapport 16 sur 7 ?
* Exercice 4
* Le rapport de deux nombres est 23/32 et la différence entre les deux est 27 ; calculer ces deux nombres.
* Exercice 5
* Calculer deux nombres x et y sachant que leur somme est 168 et que leur rapport est 5/

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