* CHAP II - LES POURCENTAGES
* I. Définition
* On appelle pourcentage le rapport constant de deux grandeurs proportionnelles quand la mesure de la seconde est 100.
* C’est donc un rapport dont le dénominateur est 100.
* Du point de vue mathématique, on a deux cas distincts :
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité connue, on l’appelle alors « pourcentage direct » ;
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité inconnue, on l’appelle, dans ce cas, « pourcentage indirect ».
* I.1. Pourcentage direct
* Exemple
* Un commerçant achète un article au prix de 9 000 DH. Il désire réaliser un bénéfice de 20% sur le prix d’achat. Quel sera alors son bénéfice ?
* Bénéfice =
* Cette expression peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
* Bénéfice = 9000x 20%
* → Bénéfice = 1800DH
* I.2. Pourcentage indirect
* Exemple
* Un commerçant achète une marchandise à 24 000 DH et désire réaliser un bénéfice de 25% sur le prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bénéfice ?
* Méthode 1
* PV = PA + B
* B = PV x 25%
* On sait que PA = 24000
* Alors PV = 24000 + B
* Et B = PV x 25/100
* Donc , B = (24000 + B) x 25/100
* Alors : 100 x B = 600000 + 25 x B
* 100 B – 25 B = 600000
* 75 B = 600000
* B = 600000/75 = 8000
* Méthode 2
* Généralisation :
* EXERCICES
* Exercice 1: Le salaire horaire d'un employé est de 10,50 DH. Calculer le coût d'une heure supplémentaire majorée de 25% ?
* Réponse 1: Le coût de l'Heure Supplémentaire est 13,13 DH
* Exercice 2: Le prix d'une baguette de pain passe de 0,80 DH à 0,85 DH. Quelle est l'augmentation en pourcentage de la baguette ?
* Exercice 3: Un magasin solde un manteau coûtant 180 DH et le propose à 117 DH. Calculer le pourcentage de réduction obtenu.
* Réponse 3:
* Nous calculons la baisse en valeur du prix du manteau :
* 180 - 117 = 63
* Le prix du manteau a donc baissé de 63 DH
* Nous voulons connaître le pourcentage de réduction. Ce que nous cherchons, c'est combien représente cette baisse de 63 DH par rapport au Prix Initial du manteau ?
* Le prix initial et la diminution sont proportionnels, que ce soit en valeur ou en pourcentage, nous pouvons donc construire un tableau de proportionnalité.
* Par la méthode du Produit en Croix, nous trouvons :
* X = 63 × 100/180 = 35
* II- Application des pourcentages aux réductions sur le prix
* En général, le commerçant accorde à ses clients une réduction de a% calculée sur le prix de vente public appelé aussi :
* Prix de vente catalogue (PVC)
* Prix de vente brut (PVB)
* Prix de vente marqué (PVM)
* II.1. Calcul du PVC en fonction du PV
* Le point de départ est le PVC
* Le point d’arrivée est le PV
* On suppose qu’un commerçant accorde une remise de a% à son client:
* PVC = PV + R
* R = PVC x a%
* Donc : PVC = PV + PVC x a%
* PVC – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PVC = PV/(1-a%) = 100/(100 - a) x PV
* Si le commerçant accorde deux remises successives, a% et b%, alors :
* PVC = (100/100-a) x (100/100-b) x PV
* Exemple : un commerçant qui accorde deux remises 10% et 8%.
* II.2. Calcul du PV en fonction du PVC
* Point de départ : PV → à calculer
* Point d’arrivée : PVC → connu
* PVC = PV + R
* PV = PVC - R
* R = PVC x a%
* Donc : PV = PVC - PVC x a%
* PV C – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PV = PVC (100 – a)/100
* Pour deux remises successives a% et b%, on a :
* Application numérique:
* Pour les remises de 10% et 8% on a:
* EXERCICES
* Exercice 1: Un vendeur de véhicule augmente le prix d'une voiture de 10%, au départ le prix était de 8900 €. Ne voyant aucun client intéressé, le vendeur baisse le prix de 10%. Calculer le dernier prix de cette voiture et commenter le résultat.
* Exercice 2: L'affirmation suivante est-elle vraie ?
* « Si on baisse le prix d’un article de 20% puis encore de 30%, au final, le prix de l’article a baissé de 50% »
* Vrai ou faut ?
* Pourquoi ?
* II.3. Coefficient multiplicateur et taux de bénéfice
* Le coefficient multiplicateur est le nombre qui permet de passer da la quantité connue à la quantité inconnue par une seule multiplication.
* Exemples :
* Passe
* Passer du coût de revient (CR) au prix de vente à la clientèle (PVC)
* 1- PV = PA + B
* B = PA x a%
* Alors , PV = PA + PA x a%
* PV = PA (1 + a%)
* PV = PA x (100 + a)/100
* (100 + a)/100 est le coefficient multiplicateur.
* 2- PVC = CR + MARGE
* MARGE = CR x b%
* PVC = CR + CR x b%
* PVC = CR (1 + b%)
* PVC = CR (100 + b)/100
* (100 + b)/100 est le coefficient multiplicateur
* Réponse 1 :
* CM = 1 + 25/100
* CM = 1 + 0,25
* CM = 1,25
* Le prix de la montre a été multiplié par 1,25.
* Réponse 2 :
* CM = 1 – 10/100
* CM = 1-0,1
* CM = 0,9
* Le prix du canapé a été multiplié par 0,9.
* Réponse 3 :
* Prix final = Prix initial x CM
* 90 = 120 x CM
* CM = 90/120
* CM = 0,75
* Le prix de la paire de lunette a été multiplié par 0,75.
* Exercice 4 :
* Sur un emballage de fromage on peut lire :
* «Poids net : 217 g . 45% de matière grasse sur le produit sec, soit 10% sur le poids net du fromage.»
* a) Quelle est la masse de matière grasse contenue dans le fromage ?
* b) Quelle est la masse d’eau contenue dans le fromage ?
* Exercice 5 :
* Après deux augmentations successives la première de 8%, la seconde de 12% , le prix d’un produit est de 725,76 euros.
* Calculer le prix initial du produit.
* Exercice 6 :
* De 1987 à 1993, la population d’une ville a augmenté de 10,3% et de 1993 à 1999, elle a diminué de 9%.
* Quel est le pourcentage d’évolution de cette population entre 1987 et 1999 ?
* Exercice 7 :
* Un capital de 12000 euros au 1er Janvier 2000 subit chaque mois de l’année 2000 une hausse de 1 %.
* a) Par quel nombre est-il multiplié chaque mois ?
* b) Quel est le montant du capital au 1er Janvier 2001 ?
* Exercice 8 :
* Pour un même produit, le magasin A propose 20% de produit en plus pour le même prix et le magasin B propose 20% de remise sur le prix pour une même quantité.
* Si 1 Kg de produit coûte 100 euros, quelle est la proposition la plus avantageuse pour le client.
* I. Définition
* On appelle pourcentage le rapport constant de deux grandeurs proportionnelles quand la mesure de la seconde est 100.
* C’est donc un rapport dont le dénominateur est 100.
* Du point de vue mathématique, on a deux cas distincts :
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité connue, on l’appelle alors « pourcentage direct » ;
* Soit le pourcentage s’applique à une quantité inconnue, on l’appelle, dans ce cas, « pourcentage indirect ».
* I.1. Pourcentage direct
* Exemple
* Un commerçant achète un article au prix de 9 000 DH. Il désire réaliser un bénéfice de 20% sur le prix d’achat. Quel sera alors son bénéfice ?
* Bénéfice =
* Cette expression peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
* Bénéfice = 9000x 20%
* → Bénéfice = 1800DH
* I.2. Pourcentage indirect
* Exemple
* Un commerçant achète une marchandise à 24 000 DH et désire réaliser un bénéfice de 25% sur le prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bénéfice ?
* Méthode 1
* PV = PA + B
* B = PV x 25%
* On sait que PA = 24000
* Alors PV = 24000 + B
* Et B = PV x 25/100
* Donc , B = (24000 + B) x 25/100
* Alors : 100 x B = 600000 + 25 x B
* 100 B – 25 B = 600000
* 75 B = 600000
* B = 600000/75 = 8000
* Méthode 2
* Généralisation :
* EXERCICES
* Exercice 1: Le salaire horaire d'un employé est de 10,50 DH. Calculer le coût d'une heure supplémentaire majorée de 25% ?
* Réponse 1: Le coût de l'Heure Supplémentaire est 13,13 DH
* Exercice 2: Le prix d'une baguette de pain passe de 0,80 DH à 0,85 DH. Quelle est l'augmentation en pourcentage de la baguette ?
* Exercice 3: Un magasin solde un manteau coûtant 180 DH et le propose à 117 DH. Calculer le pourcentage de réduction obtenu.
* Réponse 3:
* Nous calculons la baisse en valeur du prix du manteau :
* 180 - 117 = 63
* Le prix du manteau a donc baissé de 63 DH
* Nous voulons connaître le pourcentage de réduction. Ce que nous cherchons, c'est combien représente cette baisse de 63 DH par rapport au Prix Initial du manteau ?
* Le prix initial et la diminution sont proportionnels, que ce soit en valeur ou en pourcentage, nous pouvons donc construire un tableau de proportionnalité.
* Par la méthode du Produit en Croix, nous trouvons :
* X = 63 × 100/180 = 35
* II- Application des pourcentages aux réductions sur le prix
* En général, le commerçant accorde à ses clients une réduction de a% calculée sur le prix de vente public appelé aussi :
* Prix de vente catalogue (PVC)
* Prix de vente brut (PVB)
* Prix de vente marqué (PVM)
* II.1. Calcul du PVC en fonction du PV
* Le point de départ est le PVC
* Le point d’arrivée est le PV
* On suppose qu’un commerçant accorde une remise de a% à son client:
* PVC = PV + R
* R = PVC x a%
* Donc : PVC = PV + PVC x a%
* PVC – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PVC = PV/(1-a%) = 100/(100 - a) x PV
* Si le commerçant accorde deux remises successives, a% et b%, alors :
* PVC = (100/100-a) x (100/100-b) x PV
* Exemple : un commerçant qui accorde deux remises 10% et 8%.
* II.2. Calcul du PV en fonction du PVC
* Point de départ : PV → à calculer
* Point d’arrivée : PVC → connu
* PVC = PV + R
* PV = PVC - R
* R = PVC x a%
* Donc : PV = PVC - PVC x a%
* PV C – PVC x a% = PV
* PVC(1-a%) = PV
* PV = PVC (100 – a)/100
* Pour deux remises successives a% et b%, on a :
* Application numérique:
* Pour les remises de 10% et 8% on a:
* EXERCICES
* Exercice 1: Un vendeur de véhicule augmente le prix d'une voiture de 10%, au départ le prix était de 8900 €. Ne voyant aucun client intéressé, le vendeur baisse le prix de 10%. Calculer le dernier prix de cette voiture et commenter le résultat.
* Exercice 2: L'affirmation suivante est-elle vraie ?
* « Si on baisse le prix d’un article de 20% puis encore de 30%, au final, le prix de l’article a baissé de 50% »
* Vrai ou faut ?
* Pourquoi ?
* II.3. Coefficient multiplicateur et taux de bénéfice
* Le coefficient multiplicateur est le nombre qui permet de passer da la quantité connue à la quantité inconnue par une seule multiplication.
* Exemples :
* Passe
* Passer du coût de revient (CR) au prix de vente à la clientèle (PVC)
* 1- PV = PA + B
* B = PA x a%
* Alors , PV = PA + PA x a%
* PV = PA (1 + a%)
* PV = PA x (100 + a)/100
* (100 + a)/100 est le coefficient multiplicateur.
* 2- PVC = CR + MARGE
* MARGE = CR x b%
* PVC = CR + CR x b%
* PVC = CR (1 + b%)
* PVC = CR (100 + b)/100
* (100 + b)/100 est le coefficient multiplicateur
* Réponse 1 :
* CM = 1 + 25/100
* CM = 1 + 0,25
* CM = 1,25
* Le prix de la montre a été multiplié par 1,25.
* Réponse 2 :
* CM = 1 – 10/100
* CM = 1-0,1
* CM = 0,9
* Le prix du canapé a été multiplié par 0,9.
* Réponse 3 :
* Prix final = Prix initial x CM
* 90 = 120 x CM
* CM = 90/120
* CM = 0,75
* Le prix de la paire de lunette a été multiplié par 0,75.
* Exercice 4 :
* Sur un emballage de fromage on peut lire :
* «Poids net : 217 g . 45% de matière grasse sur le produit sec, soit 10% sur le poids net du fromage.»
* a) Quelle est la masse de matière grasse contenue dans le fromage ?
* b) Quelle est la masse d’eau contenue dans le fromage ?
* Exercice 5 :
* Après deux augmentations successives la première de 8%, la seconde de 12% , le prix d’un produit est de 725,76 euros.
* Calculer le prix initial du produit.
* Exercice 6 :
* De 1987 à 1993, la population d’une ville a augmenté de 10,3% et de 1993 à 1999, elle a diminué de 9%.
* Quel est le pourcentage d’évolution de cette population entre 1987 et 1999 ?
* Exercice 7 :
* Un capital de 12000 euros au 1er Janvier 2000 subit chaque mois de l’année 2000 une hausse de 1 %.
* a) Par quel nombre est-il multiplié chaque mois ?
* b) Quel est le montant du capital au 1er Janvier 2001 ?
* Exercice 8 :
* Pour un même produit, le magasin A propose 20% de produit en plus pour le même prix et le magasin B propose 20% de remise sur le prix pour une même quantité.
* Si 1 Kg de produit coûte 100 euros, quelle est la proposition la plus avantageuse pour le client.
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